普利姆算法(Prim)和MST介绍

应用场景

修路问题

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  1. 乡村有7个村庄(A,B,C,D,E,F,G),现在需要修路把7个村庄连通。
  2. 各个村庄的举例用边线表示(权),比如A-B距离5公里。
  3. 问:如何修路保证各个村庄都能连通,并且修建公路总里程最短?
    • 如果将所有边都连通,虽然每个村庄都连通了,但总里程数不是最小。
    • 所以应该在保证连通的情况下,尽可能选择少的路线,且每条路线最小,才能保证总的里程数最少。

最小生成树

修路问题本质就是最小生成树问题,先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree),简称MST。

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  1. 给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树。
  2. N个顶点,一定有N-1条边。
  3. 包含全部顶点。
  4. N-1条边都在图中。
  5. 求最小生成树的算法主要是普利姆算法和克鲁斯卡尔算法。

Prim算法解决修路问题思路分析

基本介绍

  1. 普利姆(Prim)算法求最小生成树,也就是在包含n个顶点的连通图中,找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图,也就是所谓的极小连通子图。
  2. 普利姆算法如下:
    1. 设G=(V,E)是连通网,T=(U,D)是最小生成树,V,U是顶点集合,E,D是边的集合。
    2. 若从顶点u开始构造最小生成树,则从集合V中取出顶点u放入集合U中,标记顶点v的visited[u]=1。
    3. 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边,则寻找这些边中权值最小的边,但不能够成回路,将顶点vj加入集合U中,将边(ui,vj)加入集合D中,标记visited[vi]=1。
    4. 重复步骤2,直到U与V相等,即所有顶点都被标记为访问过,此时D中有n-1条边。
    5. 提示:算法步骤看着很难理解,通过代码比较好理解。

思路分析

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  1. 从{A}顶点开始处理,选择权值最小且没有被访问过的顶点:

    A-C[7],A-G[2],A-B[5]==>{A,G}

  2. 从{A,G}开始,将A,G顶点和它们相邻的还没有访问的顶点进行处理:

    A-C[7],A-B[5],G-B[3],G-E[4],G-F[6]==>{A,G,B}

  3. 从{A,G,B}开始,将A,G,B顶点和它们相邻的还没有访问的顶点进行处理:

    A-C[7],G-E[4],G-F[6],B-D[9]==>{A,G,B,E}

  4. 以此类推,每次找出未被访问过的顶点,并选择权值最小的顶点加入。

    第四次:{A,G,B,E}->F,对应边E-F[5]

    第五次:{A,G,B,E,F}->D,对应边F-D[4]

    第六次:{A,G,B,E,F,D}->C,对应边A-C[7]

  5. 最终的结果为:{A,G,B,E,F,D,C},权值总和为25;

Prim算法解决修路问题构建图

代码

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package com.algorithm.prim;

import java.util.Arrays;

/**
* @author Joker大雄
* @data 2022/11/28 - 16:54
**/
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
// 测试图是否创建成功
char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
int verxs = data.length;
// 邻接矩阵的关系使用二维数组表示,用10000这个较大的数表示两个点不连通
int[][] weight = new int[][]{
{10000,5,7,10000,10000,10000,2},
{5,10000,10000,9,10000,10000,3},
{7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
{10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
{10000,10000,8,10000,10000,5,4},
{10000,10000,10000,4,5,10000,6},
{2,3,10000,10000,4,6,10000}};

// 创建MGraph对象
MGraph graph = new MGraph(verxs);
// 创建一个MinTree对象
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createGraph(graph,verxs,data,weight);
// 输出
minTree.showGraph(graph);
}
}
// 创建最小生成树->村庄的图
class MinTree {
// 创建图的邻接矩阵
/**
*
* @param graph 图对象
* @param verxs 图对应的顶点个数
* @param data 图各个顶点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createGraph(MGraph graph,int verxs,char data[],int[][] weight){
int i,j;
for (i = 0; i < verxs; i++) { // 顶点
graph.data[i] = data[i];
for(j = 0; j< verxs;j++){
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}
// 显示图的方法
public void showGraph(MGraph graph){
for(int[] link:graph.weight){
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
}

// 构建图
class MGraph{
int verxs; //表示图的节点个数
char[] data; // 保存节点数据
int[][] weight; // 存放边,就是我们邻接矩阵的边

// 初始化数据
public MGraph(int verxs) {
this.verxs = verxs;
data = new char[verxs];
weight = new int[verxs][verxs];
}
}

运行结果

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[5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3]
[7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000]
[10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000]
[10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4]
[10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6]
[2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000]

Process finished with exit code 0

Prim算法解决修路问题代码实现

代码

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package com.algorithm.prim;

import java.util.Arrays;

/**
* @author Joker大雄
* @data 2022/11/28 - 16:54
**/
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
// 测试图是否创建成功
char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
int verxs = data.length;
// 邻接矩阵的关系使用二维数组表示,用10000这个较大的数表示两个点不连通
int[][] weight = new int[][]{
{10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
{5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
{7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
{10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
{10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
{10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
{2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000}};

// 创建MGraph对象
MGraph graph = new MGraph(verxs);
// 创建一个MinTree对象
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
// 输出
// minTree.showGraph(graph);

// 测试prim算法
minTree.prim(graph,0);
}
}

// 创建最小生成树->村庄的图
class MinTree {
// 创建图的邻接矩阵

/**
* @param graph 图对象
* @param verxs 图对应的顶点个数
* @param data 图各个顶点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
int i, j;
for (i = 0; i < verxs; i++) { // 顶点
graph.data[i] = data[i];
for (j = 0; j < verxs; j++) {
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}

// 显示图的方法
public void showGraph(MGraph graph) {
for (int[] link : graph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
// 编写prim算法,得到最小生成树

/**
* @param graph 表示图
* @param v 表示从图的第几个顶点开始生成
*/
public void prim(MGraph graph, int v) {
// visited[] 标记节点是否被访问过,默认为0
// Java中因为它创建本身就为0,所以省略初始化步骤
int visited[] = new int[graph.verxs];

// 把当前节点标记为已访问
visited[v] = 1;
// h1和h2记录两个顶点的下标
int h1 = -1;
int h2 = -1;
//将minWeight初始化为一个较大数值,在之后的遍历中会被替换
int minWeight = 10000;
for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) {// 因为有graph.verxs多个顶点,prim算法结束后,有graph.verxs-1条边

// 确定每一次生成的子图的节点,和哪个节点距离最近
for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { // i表示被访问过的节点
for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) { // j表示还没有被访问过的节点
if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
// 替换minWeight,寻找已经访问过的节点和未访问过的节点间的权值最小的边
minWeight = graph.weight[i][j];
// 同时记录顶点的下标
h1 = i;
h2 = j;
}
}
}
// 找到一条边是最小的
System.out.println("边<"+graph.data[h1]+","+graph.data[h2]+"> 权值:"+ minWeight);
// 将当前这个节点标记为已经访问
visited[h2] = 1;
// 重置minWeight,将其设置为10000
minWeight = 10000;
}
}
}

// 构建图
class MGraph {
int verxs; //表示图的节点个数
char[] data; // 保存节点数据
int[][] weight; // 存放边,就是我们邻接矩阵的边

// 初始化数据
public MGraph(int verxs) {
this.verxs = verxs;
data = new char[verxs];
weight = new int[verxs][verxs];
}
}

运行结果

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6
7
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边<A,G> 权值:2
边<G,B> 权值:3
边<G,E> 权值:4
边<E,F> 权值:5
边<F,D> 权值:4
边<A,C> 权值:7

Process finished with exit code 0