【Java数据结构与算法】克鲁斯卡尔算法

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法基本介绍

应用场景

公交站问题

1. 某城市新增7个站点(A,B,C,D,E,F,G)，现在需要修路把7个站点连通。
2. 各个站点的距离用边线表示(权)，例如A-B距离12公里。
3. 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且修建公路总里程最短？

基本介绍

1. 克鲁斯卡尔(Sruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
2. 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。
3. 具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后按照权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直到森林变成一棵树为止。

在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。

例如，对于如上图所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

步骤图解

操作步骤：

1. 将边<E,F>加入R中。边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
2. 将边<C,D>加入R中。上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
3. 将边<D,E>加入R中。上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
4. 将边<B,F>加入R中。上一 步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路;因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
5. 将边<E,G>加入R中。上一 步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
6. 将边<A,B>加入R中。上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路;因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
7. 此时，最小生成树构造完成!它包括的边依次是: <E,F> <C,D> <D,E> <B,F> . <E,G> <A,B>。

算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决以下两个问题：

1. 对图的所有边按照权值大小进行排序。
2. 将边添加到最小生成树中时，怎么判断是否形成了回路。

解决办法：

1. 问题1采用排序算法即可；
2. 问题2处理方式为：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条添加到最小生成树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话会构成回路。

如何判断是否构成回路

在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点:

• C的终点是F。
• D的终点是F。
• E的终点是F。
• F的终点是F。

关于终点的说明:

1. 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后，某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
2. 虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F,即它们的终点相同；因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路；这就是判断回路的方式。
3. 也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

Kruskal算法解决公交问题-构建图

代码

package com.algorithm.kruskal;

/**
 * @author Joker大雄
 * @data 2022/11/29 - 13:21
 **/
public class KruskalCase {

    private int edgeNum; // 边的个数
    private char[] vertexs; // 顶点数组
    private int[][] matrix; // 邻接矩阵
    // 使用Integer最大值表示两个顶点不能连通
    private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;

    public static void main(String[] args) {
        // 测试邻接矩阵创建
        char[] vertexs = {'A','B','C','D','E','F','G'};
        //克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
        int matrix[][]= {
                /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
                /*A*/ { 0,12, INF, INF, INF, 16,14},
                /*B*/ { 12,0,10, INF, INF, 7, INF},
                /*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
                /*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
                /*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
                /*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
                /*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};
        // 创建克鲁斯卡尔对象实例
        KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
        // 输出
        kruskalCase.print();
    }

    // 构造器
    public KruskalCase(char[] vertexs,int[][] matrix){
        // 初始化顶点数和边的个数
        int vlen = vertexs.length;

        // 初始化顶点,拷贝方式
        this.vertexs = new char[vlen];
        for(int i=0;i<vertexs.length;i++){
            this.vertexs[i] = vertexs[i];
        }
        // 初始化边
        this.matrix = new int[vlen][vlen];
        // 初始化,拷贝方式
        for (int i=0;i<vlen;i++){
            for (int j = 0; j < vlen; j++) {
                this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
            }
        }
        // 统计边
        for (int i = 0; i < vlen; i++) {
            for (int j = 0; j < vlen; j++) {
                if(this.matrix[i][j] != INF){// 边有效
                    edgeNum++;
                }
            }
        }
    }
    // 打印邻接矩阵
    public void print(){
        System.out.println("邻接矩阵为：\n");
        for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
                System.out.printf("%10d\t",matrix[i][j]);
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

运行结果

邻接矩阵为：

         0	        12	2147483647	2147483647	2147483647	        16	        14	
        12	         0	        10	2147483647	2147483647	         7	2147483647	
2147483647	        10	         0	         3	         5	         6	2147483647	
2147483647	2147483647	         3	         0	         4	2147483647	2147483647	
2147483647	2147483647	         5	         4	         0	         2	         8	
        16	         7	         6	2147483647	         2	         0	         9	
        14	2147483647	2147483647	2147483647	         8	         9	         0	

Process finished with exit code 0

Kruskal算法解决公交问题-统计边

代码

package com.algorithm.kruskal;

import java.util.Arrays;

/**
 * @author Joker大雄
 * @data 2022/11/29 - 13:21
 **/
public class KruskalCase {

    private int edgeNum; // 边的个数
    private char[] vertexs; // 顶点数组
    private int[][] matrix; // 邻接矩阵
    // 使用Integer最大值表示两个顶点不能连通
    private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;

    public static void main(String[] args) {
        // 测试邻接矩阵创建
        char[] vertexs = {'A','B','C','D','E','F','G'};
        //克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
        int matrix[][]= {
                /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
                /*A*/ { 0,12, INF, INF, INF, 16,14},
                /*B*/ { 12,0,10, INF, INF, 7, INF},
                /*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
                /*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
                /*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
                /*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
                /*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};
        // 创建克鲁斯卡尔对象实例
        KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
        // 输出
        // kruskalCase.print();
        // 获取到边的集合
        EData[] edge = kruskalCase.getEdges();
        // 返回边的数组
        System.out.println("未排序："+Arrays.toString(edge));
        // 测试排序
        kruskalCase.sortEdges(edge);
        System.out.println("排序后："+Arrays.toString(edge));
    }

    // 构造器
    public KruskalCase(char[] vertexs,int[][] matrix){
        // 初始化顶点数和边的个数
        int vlen = vertexs.length;

        // 初始化顶点,拷贝方式
        this.vertexs = new char[vlen];
        for(int i=0;i<vertexs.length;i++){
            this.vertexs[i] = vertexs[i];
        }
        // 初始化边
        this.matrix = new int[vlen][vlen];
        // 初始化,拷贝方式
        for (int i=0;i<vlen;i++){
            for (int j = 0; j < vlen; j++) {
                this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
            }
        }
        // 统计边
        for (int i = 0; i < vlen; i++) {
            for (int j = i+1; j < vlen; j++) {
                if(this.matrix[i][j] != INF){// 边有效
                    edgeNum++;
                }
            }
        }
    }
    // 打印邻接矩阵
    public void print(){
        System.out.println("邻接矩阵为：\n");
        for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
                System.out.printf("%10d\t",matrix[i][j]);
            }
            System.out.println();
        }
    }
    // 按照边的权值进行排序，这里用冒泡
    /**
     * @param edges 边的集合
     */
    public void sortEdges(EData[] edges){
        for (int i = 0; i < edges.length-1; i++) {
            for (int j = 0; j < edges.length-1-i; j++) {
                if(edges[j].weight > edges[j+1].weight){
                    EData temp = edges[j];
                    edges[j] = edges[j+1];
                    edges[j+1] = temp;
                }
            }
        }
    }
    // 根据顶点返回对应的下标
    /**
     *
     * @param ch 传入一个顶点，例如'C','D'
     * @return 返回顶点对应的下标，找不到返回-1
     */
    private int getPosition(char ch){
        for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            if(vertexs[i] == ch){
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

    /**
     * 功能：获取图中的边，放到EData[]数组中，然后遍历该数组
     * 通过matrix邻接矩阵来获取
     * EData[] 形式[['A','B',12],......]
     * @return
     */
    private EData[] getEdges(){
        int index = 0;
        EData[] edge = new EData[edgeNum];
        for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            for (int j = i+1; j < vertexs.length; j++) {
                if(matrix[i][j] != INF){
                    edge[index++] = new EData(vertexs[i],vertexs[j],matrix[i][j]);
                }
            }
        }
        return edge;
    }

}
// 创建一个类EData,它的对象实例就是表示一条边
class EData{
    char start; // 边的一个点
    char end; // 边的另外一个点
    int weight; //边的权值
    // 构造器
    public EData(char start,char end,int weight){
        this.start = start;
        this.end = end;
        this.weight = weight;
    }
    // 重写toString方法，便于输出边
    @Override
    public String toString() {
        return "EData{" +
                "<" + start +
                "," + end +
                ">=" + weight +
                '}';
    }
}

运行结果

未排序：[EData{<A,B>=12}, EData{<A,F>=16}, EData{<A,G>=14}, EData{<B,C>=10}, EData{<B,F>=7}, EData{<C,D>=3}, EData{<C,E>=5}, EData{<C,F>=6}, EData{<D,E>=4}, EData{<E,F>=2}, EData{<E,G>=8}, EData{<F,G>=9}]
排序后：[EData{<E,F>=2}, EData{<C,D>=3}, EData{<D,E>=4}, EData{<C,E>=5}, EData{<C,F>=6}, EData{<B,F>=7}, EData{<E,G>=8}, EData{<F,G>=9}, EData{<B,C>=10}, EData{<A,B>=12}, EData{<A,G>=14}, EData{<A,F>=16}]

Process finished with exit code 0

Kruskal算法解决公交问题-算法实现

代码

package com.algorithm.kruskal;

import java.util.Arrays;

/**
 * @author Joker大雄
 * @data 2022/11/29 - 13:21
 **/
public class KruskalCase {

    private int edgeNum; // 边的个数
    private char[] vertexs; // 顶点数组
    private int[][] matrix; // 邻接矩阵
    // 使用Integer最大值表示两个顶点不能连通
    private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;

    public static void main(String[] args) {
        // 测试邻接矩阵创建
        char[] vertexs = {'A','B','C','D','E','F','G'};
        //克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
        int matrix[][]= {
                /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
                /*A*/ { 0,12, INF, INF, INF, 16,14},
                /*B*/ { 12,0,10, INF, INF, 7, INF},
                /*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
                /*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
                /*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
                /*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
                /*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};
        // 创建克鲁斯卡尔对象实例
        KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
        // 克鲁斯卡尔算法-> 最小生成树
        kruskalCase.kruskal();
    }

    // 构造器
    public KruskalCase(char[] vertexs,int[][] matrix){
        // 初始化顶点数和边的个数
        int vlen = vertexs.length;

        // 初始化顶点,拷贝方式
        this.vertexs = new char[vlen];
        for(int i=0;i<vertexs.length;i++){
            this.vertexs[i] = vertexs[i];
        }
        // 初始化边
        this.matrix = new int[vlen][vlen];
        // 初始化,拷贝方式
        for (int i=0;i<vlen;i++){
            for (int j = 0; j < vlen; j++) {
                this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
            }
        }
        // 统计边
        for (int i = 0; i < vlen; i++) {
            for (int j = i+1; j < vlen; j++) {
                if(this.matrix[i][j] != INF){// 边有效
                    edgeNum++;
                }
            }
        }
    }
    // 打印邻接矩阵
    public void print(){
        System.out.println("邻接矩阵为：\n");
        for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
                System.out.printf("%10d\t",matrix[i][j]);
            }
            System.out.println();
        }
    }
    // 使用克鲁斯卡尔完成 最小生成树
    public void kruskal(){
        int index = 0; // 表示结果数组的索引
        // 用于保存已有 "最小生成树"中的每个顶点在最小生成树的终点
        int[] ends = new int[edgeNum];
        // 创建结果数组，保存最后的最小生成树
        EData[] rets =new EData[edgeNum];

        // 获取图中所有的边的集合，初始一共有12条边
        EData[] edges = getEdges();

        // 按照边的权值大小进行排序(这里我们从小打大)
        sortEdges(edges);
        // 遍历edges数组，判断准备加入的边是否构成回路，如果没有构成就加入rets，否则不加入
        for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
            // 获取到第i条边的第一个顶点(起点)
            int p1 = getPosition(edges[i].start);
            // 获取到第i条变的第2个顶点
            int p2 = getPosition(edges[i].end);

            // 获取p1顶点在已有最小生成树中的终点
            int m = getEnd(ends,p1);
            // 获取p2顶点在已有最小生成树中的终点
            int n = getEnd(ends,p2);
            // 判断是否构成回路
            if(m != n){// 不构成回路
                ends[m] = n; // 设置m在已有最小生成树中的终点
                rets[index++] = edges[i];// 有一条边加入到rets数组
            }
        }
        // 统计并打印 最小生成树
        System.out.println("最小生成树：");
        for (int i = 0; i < index; i++) {
            System.out.println(rets[i]);
        }
    }

    // 按照边的权值进行排序，这里用冒泡
    /**
     * @param edges 边的集合
     */
    public void sortEdges(EData[] edges){
        for (int i = 0; i < edges.length-1; i++) {
            for (int j = 0; j < edges.length-1-i; j++) {
                if(edges[j].weight > edges[j+1].weight){
                    EData temp = edges[j];
                    edges[j] = edges[j+1];
                    edges[j+1] = temp;
                }
            }
        }
    }
    // 根据顶点返回对应的下标
    /**
     *
     * @param ch 传入一个顶点，例如'C','D'
     * @return 返回顶点对应的下标，找不到返回-1
     */
    private int getPosition(char ch){
        for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            if(vertexs[i] == ch){
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

    /**
     * 功能：获取图中的边，放到EData[]数组中，然后遍历该数组
     * 通过matrix邻接矩阵来获取
     * EData[] 形式[['A','B',12],......]
     * @return
     */
    private EData[] getEdges(){
        int index = 0;
        EData[] edge = new EData[edgeNum];
        for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            for (int j = i+1; j < vertexs.length; j++) {
                if(matrix[i][j] != INF){
                    edge[index++] = new EData(vertexs[i],vertexs[j],matrix[i][j]);
                }
            }
        }
        return edge;
    }
    /**
     * 功能：获取下标为i的顶点的终点，来判断两个顶点的终点是否相同
     * @param ends 记录了各个顶点对应的终点是哪个，是在扫描的过程逐步生成的，是一个动态的值
     * @param i 表示传入的顶点对应的下标
     * @return 返回的就是下标为i的顶点对应的终点的下标
     */
    private int getEnd(int[] ends,int i){
        while(ends[i] != 0){
            i = ends[i];
        }
        return i;
    }

}
// 创建一个类EData,它的对象实例就是表示一条边
class EData{
    char start; // 边的一个点
    char end; // 边的另外一个点
    int weight; //边的权值
    // 构造器
    public EData(char start,char end,int weight){
        this.start = start;
        this.end = end;
        this.weight = weight;
    }
    // 重写toString方法，便于输出边
    @Override
    public String toString() {
        return "EData{" +
                "<" + start +
                "," + end +
                ">=" + weight +
                '}';
    }
}

运行结果

最小生成树：
EData{<E,F>=2}
EData{<C,D>=3}
EData{<D,E>=4}
EData{<B,F>=7}
EData{<E,G>=8}
EData{<A,B>=12}

Process finished with exit code 0