【Java数据结构与算法】普利姆算法

普利姆算法(Prim)和MST介绍

应用场景

修路问题

1. 乡村有7个村庄(A,B,C,D,E,F,G)，现在需要修路把7个村庄连通。
2. 各个村庄的举例用边线表示(权)，比如A-B距离5公里。
3. 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且修建公路总里程最短？
   • 如果将所有边都连通，虽然每个村庄都连通了，但总里程数不是最小。
   • 所以应该在保证连通的情况下，尽可能选择少的路线，且每条路线最小，才能保证总的里程数最少。

最小生成树

修路问题本质就是最小生成树问题，先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。

1. 给定一个带权的无向连通图，如何选取一棵生成树，使树上所有边上权的总和为最小，这叫最小生成树。
2. N个顶点，一定有N-1条边。
3. 包含全部顶点。
4. N-1条边都在图中。
5. 求最小生成树的算法主要是普利姆算法和克鲁斯卡尔算法。

Prim算法解决修路问题思路分析

基本介绍

1. 普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图。
2. 普利姆算法如下：
   1. 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合。
   2. 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1。
   3. 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能够成回路，将顶点vj加入集合U中，将边(ui,vj)加入集合D中，标记visited[vi]=1。
   4. 重复步骤2，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边。
   5. 提示：算法步骤看着很难理解，通过代码比较好理解。

思路分析

1. 从{A}顶点开始处理，选择权值最小且没有被访问过的顶点：

   A-C[7]，A-G[2]，A-B[5]==>{A,G}

2. 从{A,G}开始，将A,G顶点和它们相邻的还没有访问的顶点进行处理：

   A-C[7]，A-B[5]，G-B[3]，G-E[4]，G-F[6]==>{A,G,B}

3. 从{A,G,B}开始，将A,G,B顶点和它们相邻的还没有访问的顶点进行处理：

   A-C[7]，G-E[4]，G-F[6]，B-D[9]==>{A,G,B,E}

4. 以此类推，每次找出未被访问过的顶点，并选择权值最小的顶点加入。

   第四次：{A,G,B,E}->F，对应边E-F[5]；

   第五次：{A,G,B,E,F}->D，对应边F-D[4]；

   第六次：{A,G,B,E,F,D}->C，对应边A-C[7]；

5. 最终的结果为：{A,G,B,E,F,D,C}，权值总和为25；

Prim算法解决修路问题构建图

代码

package com.algorithm.prim;

import java.util.Arrays;

/**
 * @author Joker大雄
 * @data 2022/11/28 - 16:54
 **/
public class PrimAlgorithm {
    public static void main(String[] args) {
        // 测试图是否创建成功
        char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
        int verxs = data.length;
        // 邻接矩阵的关系使用二维数组表示，用10000这个较大的数表示两个点不连通
        int[][] weight = new int[][]{
                {10000,5,7,10000,10000,10000,2},
                {5,10000,10000,9,10000,10000,3},
                {7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
                {10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
                {10000,10000,8,10000,10000,5,4},
                {10000,10000,10000,4,5,10000,6},
                {2,3,10000,10000,4,6,10000}};

        // 创建MGraph对象
        MGraph graph = new MGraph(verxs);
        // 创建一个MinTree对象
        MinTree minTree = new MinTree();
        minTree.createGraph(graph,verxs,data,weight);
        // 输出
        minTree.showGraph(graph);
    }
}
// 创建最小生成树->村庄的图
class MinTree {
    // 创建图的邻接矩阵
    /**
     *
     * @param graph 图对象
     * @param verxs 图对应的顶点个数
     * @param data 图各个顶点的值
     * @param weight 图的邻接矩阵
     */
    public void createGraph(MGraph graph,int verxs,char data[],int[][] weight){
        int i,j;
        for (i = 0; i < verxs; i++) { // 顶点
            graph.data[i] = data[i];
            for(j = 0; j< verxs;j++){
                graph.weight[i][j] = weight[i][j];
            }
        }
    }
    // 显示图的方法
    public void showGraph(MGraph graph){
        for(int[] link:graph.weight){
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }
}

// 构建图
class MGraph{
    int verxs; //表示图的节点个数
    char[] data; // 保存节点数据
    int[][] weight; // 存放边，就是我们邻接矩阵的边

    // 初始化数据
    public MGraph(int verxs) {
        this.verxs = verxs;
        data = new char[verxs];
        weight = new int[verxs][verxs];
    }
}

运行结果

[10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2]
[5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3]
[7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000]
[10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000]
[10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4]
[10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6]
[2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000]

Process finished with exit code 0

Prim算法解决修路问题代码实现

代码

package com.algorithm.prim;

import java.util.Arrays;

/**
 * @author Joker大雄
 * @data 2022/11/28 - 16:54
 **/
public class PrimAlgorithm {
    public static void main(String[] args) {
        // 测试图是否创建成功
        char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        int verxs = data.length;
        // 邻接矩阵的关系使用二维数组表示，用10000这个较大的数表示两个点不连通
        int[][] weight = new int[][]{
                {10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
                {5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
                {7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
                {10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
                {10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
                {10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
                {2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000}};

        // 创建MGraph对象
        MGraph graph = new MGraph(verxs);
        // 创建一个MinTree对象
        MinTree minTree = new MinTree();
        minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
        // 输出
        // minTree.showGraph(graph);

        // 测试prim算法
        minTree.prim(graph,0);
    }
}

// 创建最小生成树->村庄的图
class MinTree {
    // 创建图的邻接矩阵

    /**
     * @param graph  图对象
     * @param verxs  图对应的顶点个数
     * @param data   图各个顶点的值
     * @param weight 图的邻接矩阵
     */
    public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
        int i, j;
        for (i = 0; i < verxs; i++) { // 顶点
            graph.data[i] = data[i];
            for (j = 0; j < verxs; j++) {
                graph.weight[i][j] = weight[i][j];
            }
        }
    }

    // 显示图的方法
    public void showGraph(MGraph graph) {
        for (int[] link : graph.weight) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }
    // 编写prim算法，得到最小生成树

    /**
     * @param graph 表示图
     * @param v     表示从图的第几个顶点开始生成
     */
    public void prim(MGraph graph, int v) {
        // visited[] 标记节点是否被访问过，默认为0
        // Java中因为它创建本身就为0，所以省略初始化步骤
        int visited[] = new int[graph.verxs];

        // 把当前节点标记为已访问
        visited[v] = 1;
        // h1和h2记录两个顶点的下标
        int h1 = -1;
        int h2 = -1;
        //将minWeight初始化为一个较大数值，在之后的遍历中会被替换
        int minWeight = 10000;
        for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) {// 因为有graph.verxs多个顶点，prim算法结束后，有graph.verxs-1条边

            // 确定每一次生成的子图的节点，和哪个节点距离最近
            for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { // i表示被访问过的节点
                for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) { // j表示还没有被访问过的节点
                    if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
                        // 替换minWeight，寻找已经访问过的节点和未访问过的节点间的权值最小的边
                        minWeight = graph.weight[i][j];
                        // 同时记录顶点的下标
                        h1 = i;
                        h2 = j;
                    }
                }
            }
            // 找到一条边是最小的
            System.out.println("边<"+graph.data[h1]+","+graph.data[h2]+"> 权值："+ minWeight);
            // 将当前这个节点标记为已经访问
            visited[h2] = 1;
            // 重置minWeight，将其设置为10000
            minWeight = 10000;
        }
    }
}

// 构建图
class MGraph {
    int verxs; //表示图的节点个数
    char[] data; // 保存节点数据
    int[][] weight; // 存放边，就是我们邻接矩阵的边

    // 初始化数据
    public MGraph(int verxs) {
        this.verxs = verxs;
        data = new char[verxs];
        weight = new int[verxs][verxs];
    }
}

运行结果

边<A,G> 权值：2
边<G,B> 权值：3
边<G,E> 权值：4
边<E,F> 权值：5
边<F,D> 权值：4
边<A,C> 权值：7

Process finished with exit code 0